Practica por temas

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} mx + y + z = 2m \\ mx + (m + 1)y + z = 1 \\ mx + (m + 1)y + 2z = m + 1 \end{cases}$$

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1, -1, -2)$ y es perpendicular al plano $\alpha: x + 2y + 3z + 6 = 0$. Sea $s$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(-1, -3, -4)$.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$:

Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

Se da el triángulo $T$, cuyos vértices son $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 3, 1)$, $C = (1, 2, 2)$, y los planos $\pi_1 : x + y + z + 1 = 0$ y $\pi_2 : \begin{cases} x = -\alpha + \beta + 1 \\ y = \alpha - 2\beta \\ z = \alpha + \beta \end{cases}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: