Practica por temas

Demuestre que la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ verifica una ecuación del tipo $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$, determinando $\alpha$ y $\beta$ ($I$ denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de $A$.

En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, mg/L), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas: • Fase de absorción: En las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo. • Fase de eliminación: A partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse. Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11 & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \frac{9}{\sqrt{5x - 1}} & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$

Considere los planos $\pi_1: x - y + z = 0$ y $\pi_2: x + y - z = 2$.

Sean el plano $\pi \equiv 2x + y - z - 3 = 0$ y la recta $r: \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases}$.