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Considere los puntos $P = (1,1,3)$ y $Q = (1,5,0)$ y la recta r dada por la ecuación: $$r: \begin{cases} 2x - y - 2z = -3 \\ -x + y = 4 \end{cases}$$

4º) Se consideran la recta $r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - y + 4z = 1 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x - 3y + Az = 10$. $a)$ Calcula el valor del parámetro $A$ para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos. $b)$ Si $A = 21$, calcula la intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. $c)$ Si $A = 1$, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $b > 0$ y que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ es derivable. ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considere las rectas $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x = 7 + 3\mu \\ y = -5 + \mu \\ z = 7 \end{cases}$$

Considera el plano $\pi$ y la recta $r$ dados por $$\pi : ax + 2y - 4z - 23 = 0, \quad r \equiv \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 1}{-4} = z + 3$$