Practica por temas

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por las siguientes ecuaciones: $$r: \begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ y - 5z = 3 \end{cases} \qquad y \qquad s: \frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 5}{0}$$

En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3\,\text{m}^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de $12\,€/\text{m}$ y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de $10\,€/\text{m}$. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible.

Dada la recta $$r = \begin{cases} 3x + y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \text{ y el plano } \pi \equiv 3x + (\alpha + 1)(y + 1) + \alpha z = 1$$

Dada la función $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{2x - 4} & x \leq 0 \\ 10x^2 + x + b & x > 0 \end{cases}$ Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Dar las expresiones de la función $f(x)$ y de su derivada $f'(x)$.

Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(1, 3, -3)$ y $C(-3, -1, 1)$, se pide: