Practica por temas

Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) para que se verifique el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} (1 - \sen^2(x))^{\frac{a}{x^2}} = 2.$$

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x - 2} & \text{si } x < 2 \\ \cos(\pi x) & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{\ln(x - 2)}{3 - x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Estudiar el rango de la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 5 \\ 2 & 2 & -1 & a \\ 1 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & -4 & a \end{pmatrix}$$ según los valores del parámetro $a$.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es idempotente si cumple que $A^2 = A$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} m & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix}$ a) Calcula, según los valores de $m$, el rango de $A$. b) ¿Coincide $A$ con su inversa para algún valor de $m$? Para $m = 0$, calcula $A^{60}$. c) Si $m = 2$ y $A$ es la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿podemos afirmar que el sistema tiene solución única? Justifica la respuesta.