Practica por temas

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$. Halla $b, c$ y $d$ sabiendo que $f$ tiene un máximo relativo en $x = 1$ y que $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$.

Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de $6\,\text{m}$ de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, $18\,\text{m}$ más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de $10\,\text{€/m}$. El precio del cable $PN$ es de $5\,\text{€/m}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} \lambda & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ y $F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:

Dada la función $f(x) = (x-1)e^{-x}$: a) Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. (1 punto) b) Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$. (1 punto) c) Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x=1$. (0,5 puntos)