Practica por temas

Considera la matriz: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide $50\,\text{cm}$. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado $x$ con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el lado $x$ del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?

Determina una función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f(1) = -1$ y que $$f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Calcule:

De una función $f$ se sabe que es derivable en todo $\mathbb{R}$, que es creciente en $\mathbb{R}$ y que en todos los puntos satisface la desigualdad $f(x) > 0$. Con estos datos ¿se puede demostrar que $h(x) = e^{f(x)} - f(x)$ es creciente en todo $\mathbb{R}$? Razonar la respuesta.