Practica por temas

Sea la función $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1, 1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

Sea la función $f(x) = x \sen(x) - \cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1, 1]$.

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6$ con $a, b, c, x, y, z \in \mathbb{R}$. Calcula el valor de $\begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix}$ e indica en cada paso las propiedades que utilizas.

Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (3, 2, 3)$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$.

Si existen, halla las asíntotas de $f(x)$ y especifica de qué tipo son.

Obtén la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$.

Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el $50\,\%$, el $30\,\%$ y el $20\,\%$ de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el $6\,\%$ de las resistencias producidas por A, el $5\,\%$ de las producidas por B y el $3\,\%$ de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de: