Practica por temas

Calcula $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a-p & b-q & c-r \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{vmatrix}$, explicando las propiedades aplicadas.

Calcula $\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}$, explicando las propiedades aplicadas.

Sean $C_1, C_2, C_3$ las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada $M$ de orden 3 con $\det(M) = 4$. Calcula, enunciando las propiedades de determinantes que utilices, el determinante de la matriz cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $-C_2, 2C_1 - C_3, C_2 + C_3$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix}$, calcula todos los valores de $a$ y $b$ para los que $A^{-1} = A^t$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas.

Sea $f: [-2, 2] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continua en $[-2, 2]$ tal que $\int_{-2}^{-1} f(t) dt = \int_{1}^{2} f(t) dt$. ¿Se puede asegurar que existen $b$ y $c$ en $[-2, 2]$ tales que $b \leq -1$, $c \geq 1$ y $f(b) = f(c)$? Justifique su respuesta.