Matemáticas CCSS · Galicia 2008

Un autobús transporta en cierto viaje 60 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero que cuesta 1 €; estudiantes que tienen un 25% de descuento y jubilados con un descuento del 50% del precio del billete. La recaudación del autobús en este viaje fue de 48 euros. Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el doble que el número del resto de viajeros.

Supongamos que el valor $V$, en euros, de un producto disminuye o se deprecia con el tiempo $t$, en meses, donde $$V(t) = 50 - \frac{25t^2}{(t + 2)^2}, t \geq 0$$

En un mercado de valores cotizan un total de 60 empresas, de las que 15 son del sector bancario, 35 son industriales y 10 son del sector tecnológico. La probabilidad de que un banco de los que cotizan en el mercado se declare en quiebra es $0{,}01$, la probabilidad de que se declare en quiebra una empresa industrial es $0{,}02$ y de que lo haga una empresa tecnológica es $0{,}1$.

Considerar la ecuación matricial $X + X \cdot A + B^t = 2C$, donde las matrices A, B y C vienen dadas por: $$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ y donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de B.

La distancia (en millas) entre un barco pesquero que salió a faenar durante un período de 10 días y su puerto base viene dada por la función: $$M(t) = \begin{cases} 36 - (2t - 6)^2, & 0 \leq t \leq 5 \\ 4(10 - t), & 5 < t \leq 10 \end{cases}$$ donde $t$ es el tiempo transcurrido (en días) desde su salida del puerto base.

En una determinada población, el 40% de sus habitantes son inmigrantes de los que el 65% trabaja en el campo, mientras que solo el 20% de la población no inmigrante trabaja en el campo.

Un proyecto de jardinería puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: $G_1$ y $G_2$. Se trata de ajardinar tres zonas: $A, B$ y $C$. En la siguiente tabla se recoge el número de unidades que puede ajardinar cada grupo en cada zona durante una semana: Necesita ajardinarse un mínimo de 40 unidades en la zona A, 50 unidades en la zona B y 49 unidades en la zona C, estimándose el coste semanal en 3300 euros para el grupo $G_1$ y en 4000 euros para el grupo $G_2$. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? Expresar la función objetivo y las restricciones del problema. Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.

El número de plazas ocupadas de un aparcamiento a lo largo de las 24 horas de un día, viene expresado por la función $$N(t) = \begin{cases} 1680 + 20t & \text{si } 0 \leq t < 8 \\ -10t^2 + 260t + 400 & \text{si } 8 \leq t < 16 \\ -10t^2 + 360t - 1200 & \text{si } 16 \leq t \leq 24 \end{cases}$$

En una determinada población se sabe que el valor de la tasa diaria de consumo de calorías sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 400$ calorías.

Un fabricante produce dos modelos diferentes $M_1$ y $M_2$ de un mismo artículo y sabe que puede vender tantos como produzca. El modelo $M_1$ requiere diariamente 25 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30 euros por modelo. El modelo $M_2$ precisa diariamente 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 34 minutos de acabado, generando un beneficio de 40 euros por modelo. Cada día se dispone de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos de acabado.

Una institución de beneficencia estatal quiere determinar cuántos analistas debe contratar para el procesamiento de solicitudes de la seguridad social. Se estima que el coste (en euros) $C(x)$ de procesar una solicitud es una función del número de analistas $x$ dada por: $C(x) = 0{,}003x^2 - 0{,}216 \ln x + 5$, siendo $x > 0$ (ln = logaritmo neperiano).

Se sabe que el tiempo de reacción frente a cierto estímulo de los individuos de un grupo a estudio sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 0{,}1$ segundos.