Practica por temas

Calcula el valor de $x$ para que la matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}$ sea normal.

Calcula la matriz $X$ que satisface la ecuación $AX = B^t X - C$, donde $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}.$$

Razonad y determinad cuál es el dominio de la función $f(x)$.

Determinad el valor de $a$ para que la gráfica de la función $f(x)$ pase por el punto $(0, 4)$.

Para $a = -2$ determinad los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. ¿Existen máximos y mínimos relativos de $f(x)$? En caso afirmativo, decid dónde los consigue y qué valores tienen.

Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = -2$.

Calcule $\int x \cdot f(x) \, dx$.

Calcule la derivada de la función $g(x) = 6 \ln(5 - 3x) + 3x^2 \sen(7x - 5)$.

Representad gráficamente, señalando los vértices, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan, e indicando si es una región acotada del plano o no, el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: $$x + 2y \leq 12$$ $$2x + y \geq 4$$ $$x - 2y \leq 6$$ $$x - y \geq 0$$ $$x \leq 8$$

Indicad la posición de los puntos $P = (1, 2)$ y $Q = (5, 1)$ en relación con la región determinada en el apartado a). En caso de que el punto sea exterior indicad, comprobándolo algebraicamente, cuál o cuáles de las inecuaciones no cumple.

Para la región representada en el apartado a) determinad en qué puntos toma el valor máximo la función $g(x, y) = 2x - 3y$.