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Dada la siguiente expresión de la función $f$, de la que se desconocen algunos valores: $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} - \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en todo su dominio. Escribir la función resultante.

Sea $f$ la función de variable real definida mediante la expresión $$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $b > 0$ y que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ es derivable. ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera la función $f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{(1 - |x|)^2}$.