Practica por temas

Definimos las funciones $f(x) = a(1 - x^2)$ y $g(x) = \frac{x^2 - 1}{a}$ en las que $a > 0$.

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Considere la función polinómica $f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$.

Sea $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2 - x} & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas: