Practica por temas

Hallar las matrices simétricas $B$ que verifiquen $BA = (A + A^2)B$.

Con la matriz $A_1 = A$, se consideran las matrices $A_2 = A_1^2 + A_1$, $A_3 = A_2^2 + A_2$, $A_4 = A_3^2 + A_3$ y así sucesivamente. Hallar $A_{2025}$.

Obtenga la matriz antisimétrica $M$ de orden $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Luego, calcule su inversa en el caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ es el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ de $M$.

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.

Halle las coordenadas de un punto de la curva $y = f(x)$ en el cual la recta tangente a la curva sea horizontal y analice si la función tiene un extremo relativo en este punto.

Determine si la función $f(x)$ tiene alguna asíntota horizontal.

Calcule el área de la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio $0 < x < 5$, en el que quede representada el área que ha calculado.

Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$.

Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$.

Sea el punto $P(1, 0, 1)$ y la recta $r \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}$. Calcula razonadamente la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

Sean las rectas $s \equiv \begin{cases} x = 0 + 2\lambda \\ y = 1 - 2a\lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases}$ y $t \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$. Calcula razonadamente el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que las dos rectas sean paralelas.