Practica por temas

Si $A$ es una matriz idempotente, calcule razonadamente $A^{2015}$.

Determine para qué valores de los parámetros $a$ y $b$ la siguiente matriz es idempotente $$A = \begin{pmatrix} a & -a & 0 \\ -a & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$

Encuentra dos matrices $A, B$ cuadradas de orden 2 que cumplan: - Su suma es la matriz identidad de orden 2. - Al restar a la matriz $A$ la matriz $B$ se obtiene la traspuesta de la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Si $M$ es una matriz cuadrada de orden 2 tal que $|M| = 7$, razona cuál es el valor de los determinantes $|M^2|$ y $|2M|$.

Calcula, según los valores de $a$, el rango de $A$. Calcula, si existe, la inversa de $A$ cuando $a = 0$.

Para $a = 1$, calcula la matriz $B$ que verifica $ABA^{-1} - A = 2I$.

Para $a = 1$, calcula todas las matrices $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ tales que $AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Discutir su rango en función de los valores de $a$.

Para $a = 1$, resolver la ecuación matricial $A^t X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Calcule la matriz $C = 2A - B^2$.

Halle la inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$.