Practica por temas

Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3$ y usando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de los siguientes determinantes:

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x + y + (\alpha - 1)z = \alpha - 1 \\ x - \alpha y - 3z = 1 \\ x + y + 2z = 2\alpha - 2 \end{cases}$$

Determina los valores de $a$ para los que el sistema de ecuaciones tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles. $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + ay = 2 \\ 5x + (3a - 1)y = 6 - a \end{cases}$$

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Considera la función $f(x) = \begin{cases} \sen(x) & \text{si } x \in [-2\pi, 0) \\ x^2 - 2x & \text{si } x \in [0, 3] \end{cases}$