Practica por temas

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$.

Dada la matriz $A$ $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcule los valores del parámetro $\alpha$ para los que la matriz $M$ no tiene inversa. Calcule la matriz inversa de $M$ para $\alpha = 2$, si es posible. $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \alpha & 3 \\ 4 & 1 & -\alpha \end{pmatrix}$$

La velocidad de una partícula, medida en $\text{m/s}$, está determinada en función del tiempo $t \geq 0$ medido en segundos, por la expresión $v(t) = (t^2 + 2t)e^{-t}$. Se pide:

Un nadador está en el mar en un punto $N$, situado a $3$ km de una playa recta, y justo delante de un punto $S$, situado en la playa a ras del agua; y quiere ir a un punto $A$, situado también a ras del agua y a $6$ km del punto $S$, de manera que el triángulo $NSA$ es rectángulo en el vértice $S$. El nadador nada a una velocidad constante de $3$ km/h y camina a una velocidad constante de $5$ km/h.