Practica por temas

Considera las siguientes matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3 \times 3$ tales que $A$ es invertible. Sea $I$ la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

Sea $A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -2 & y \end{pmatrix}$. Encuentre los valores de las variables $x$ e $y$ para que se cumpla que $A^2 = A$.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ donde $k$ es un número real: a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz es invertible? (2 puntos) b) Para $k=0$, si existe, calcular la matriz inversa de $A$. (4 puntos) c) Para $k=0$, hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$. (4 puntos)

Dada la matriz $M \in M_{2 \times 2}, M = \begin{pmatrix} 1 & a - 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$.