Practica por temas

Si $a$ y $b$ son números reales arbitrarios, consideramos la función $$f(x) = \begin{cases} a \sen x + b \cos x, & \text{si } x < \frac{\pi}{2} \\ \sen^2 x - a \cos x, & \text{si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Los vértices de un triángulo son $A(0, 12)$, $B(-5, 0)$ y $C(5, 0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(-x, 0)$, $(x, 0)$, siendo $0 \leq x \leq 5$. Los otros dos vértices están situados en los segmentos $AB$ y $AC$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a-1 & 0 & a-2 \\ 1 & a-1 & a \\ -1 & a & 0 \end{pmatrix}$

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en $(1,0)$, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación $y = -3x + 3$.

2: Se dice que una matriz cuadrada A de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1's y -1's y cumple que A·A^t = 2I, donde A^t denota la matriz traspuesta de A e I denota la matriz identidad de orden 2. a) [1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard: [[1,1],[-1,1]] y [[1,1],[-1,-1]] b) [0,75] Si A es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante. c) [0,75] Justifique que toda matriz A de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de A^t.