Practica por temas

Determine los cortes de la curva $y = f(x)$ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = f(x)$ en los puntos $x = 0$ y $x = 2$. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta.

¿Hay algún punto donde la recta tangente a $f(x)$ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo.

Calcule los valores de $n$ y $m$ para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.

Para el caso $n = -4$ y $m = -6$, calcule el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de las abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 4$.

Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémosle O, sumergieron un dispositivo verticalmente $315\,\text{m}$ (véase la figura). Seguidamente, este se desplazó $37\,\text{m}$ sobre la recta $$\begin{cases} x = 0 \\ 35y + 12z = -3780 \end{cases}$$ hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcula el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento considerando el punto O el centro de referencia (el origen de coordenadas).

¿Si queremos mantener la profundidad deseada ($350\,\text{m}$), sobre qué plano se debe desplazar el dispositivo?

Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se va monitorizando desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria $$\begin{cases} x = 5 + 4\lambda \\ y = 10 + \lambda \\ z = -380 + 10\lambda \end{cases}$$ Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión?

Calcula la ecuación de dicha recta.

Calcula la ecuación del plano perpendicular al segmento $\overline{AB}$ que pasa por $A$.

Calcula los otros dos vértices del cuadrado.