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Considera la función $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $$g(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \sen(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

La gráfica adjunta corresponde a la función derivada $f'$ de una función $f$. Estudia el crecimiento y decrecimiento de $f$ y di si tiene un máximo o un mínimo.

Discutir el rango de la matriz $A$, en función de los valores del parámetro $\alpha$.

Para $\alpha = 0$, calcular, si es posible, $A^{-1}$.

Resolver, si es posible, el sistema $AX = B$, en el caso $\alpha = 1$.

Considere la matriz y los vectores siguientes: $$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $x$, $y$ y $z$ son números reales. Determine $x$, $y$ y $z$ para que el vector $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sea solución del sistema $\mathbf{M} \mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Sean ahora la matriz y vectores siguientes: $$\mathbf{N} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales que verifican que $a \neq 0$, $a + b = 0$, $c = a$. Determine si el sistema $\mathbf{N} \mathbf{X} = \mathbf{B}$ es compatible determinado.

Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de $m$ y resuélvalo para los valores de $m$ siguientes: $m = -1$ y $m = 2$. $$\mathbf{AX} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{donde} \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Determine la inversa de la matriz $A$ cuando $m = 0$.

Dibujar las gráficas aproximadas de $f(x) = x^2 + 2x + 1$ y $g(x) = 3x + 3$, señalando los puntos de corte.

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a).