Practica por temas

Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0,0)$, $A = (x,y)$ y $B = (0,y)$ siendo $x > 0$, $y > 0$ y tal que la suma de las longitudes de los lados $OA$ y $AB$ es $30$ metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la función $$f(x) = (x - 2) e^{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \cos \left(\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{2} x\right)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Averigua qué dos matrices de dimensiones $3 \times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones: La suma de ambas matrices $X$ e $Y$ da como resultado la matriz $I_3$ (siendo $I_3$ la matriz identidad $3 \times 3$). Siendo $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}$, la matriz traspuesta de $A$ es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz $X$ y cinco veces la matriz $Y$.