Practica por temas

Estudie la existencia de inversa de la matriz $A$ según los diferentes valores de $k$.

Si $k = 2$, calcule la inversa de $A$, si existe.

Determine el rango de la matriz $A$ según los diferentes valores de $k$.

Obtenga la matriz antisimétrica $M$ de orden $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Luego, calcule su inversa en el caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ es el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ de $M$.

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.

Decide si existe la inversa de $A$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$.

En el caso particular en que $a = 1$ y $b = 2$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $AX - A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que $$\begin{cases} A \cdot B = -B \\ A \cdot C = B - C \end{cases}$$ En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$.

Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1} \cdot D = D$.