Practica por temas

La recta $r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3}$ y la recta $s$, que pasa por los puntos $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$, se cortan en un punto. Calcula el valor de $a$ y el punto de corte.

Sea la función $f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}$

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo $R$ de $600\,\text{cm}^2$ de área de manera que: por encima y por debajo de $R$ deben quedar unos márgenes de $3\,\text{cm}$ de altura cada uno; los márgenes a izquierda y a derecha de $R$ deben tener una anchura de $2\,\text{cm}$ cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: