Practica por temas

Obtenga la matriz antisimétrica $M$ de orden $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Luego, calcule su inversa en el caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ es el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ de $M$.

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.

Halla $a$ y $b$ sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$.

Para $a = 1$, calcula el valor o valores de $b$ para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores ortogonales y de módulo 1. Halla los valores del parámetro $a$ para que los vectores $\vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{u} - a\vec{v}$ formen un ángulo de $60^\circ$.

Halla un vector $\vec{z}$ de módulo 1 y que sea ortogonal a los vectores $\vec{x} = (1, 2, 1)$ e $\vec{y} = (0, 1, 1)$.

Justifica si es verdadera o falsa la afirmación siguiente. Si la consideras falsa, pon un ejemplo ilustrativo. "Si $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ son tres vectores no nulos que cumplen $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$, entonces $\vec{b} = \vec{c}$."