Practica por temas

Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2 \times 2$.

Para $\lambda = 2$ solucionar el sistema $AX = \lambda X$, donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Dadas las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ encuentre la matriz $X$, de dimensión $3 \times 3$, que resuelve la ecuación matricial: $$AX + B = A^2$$

Determine el rango de la matriz $C$ siguiente según los diferentes valores del parámetro $k$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & k \\ k & k & 1 \end{pmatrix}$$

La matriz $M = (A - \alpha I)^2$, donde $\alpha$ es un parámetro real.

El valor de $\alpha$, si existe, para el cual la matriz $M$ es la matriz nula.

Calcule para qué valores del parámetro $a$ se satisface la igualdad $M^2 - M - 2I = 0$, en la que $I$ es la matriz identidad y $0$ es la matriz nula, ambas de orden 2.

Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre una expresión general para calcular la matriz inversa de la matriz $M$ y, a continuación, calcule la inversa de $M$ para el caso $a = \sqrt{2}$.