Practica por temas

Sean $\vec{e}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores en $\mathbb{R}^3$ tales que $\vec{e} \times \vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} \times \vec{e} = (0, 1, 1)$.

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & m \\ 0 & m & 0 \\ m & 1 & m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Se pide: a) Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$. (3 puntos) b) Para $m = -1$, resolver la ecuación matricial $AX = B$. (4 puntos) c) Para $m = 0$, calcular $A^5$. (3 puntos)

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, en la que $\alpha$ es un parámetro real.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 1)x + ay = 3 \\ (a + 1)x + (a + 1)y + (a + 2)z = 1 \\ (a^2 + a)x + (a^2 - 1)y + (a^2 - 2a - 8)z = 2a + 5 \end{cases}$$