Practica por temas

Estudie para cuáles valores del parámetro $m$ es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} (1 - 2m)x + y + z = -1 \\ (m - 1)x + y + z = 2 \\ m^2 x + y + z = 3 \end{cases}$$

Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para $m = 0$.

Deducir, razonadamente, para qué valores de $\alpha$ es compatible determinado.

Deducir, razonadamente, para qué valores de $\alpha$ es compatible indeterminado.

Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado.

Sean $\vec{u}, \vec{v}$ dos vectores tales que $|\vec{u}| = 3, |\vec{v}| = 4, |\vec{u} - \vec{v}| = 5$. Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Calcula el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}]$, siendo $\vec{u} \times \vec{v}$ el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Dadas las rectas $r: \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-2}$ y $s: \begin{cases} x = 1 + 6\lambda \\ y = 4\lambda \\ z = -4\lambda \end{cases}$ estudia su posición relativa y calcula la ecuación del plano que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y contiene a $r$.

Considere la matriz y los vectores siguientes: $$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $x$, $y$ y $z$ son números reales. Determine $x$, $y$ y $z$ para que el vector $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sea solución del sistema $\mathbf{M} \mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Sean ahora la matriz y vectores siguientes: $$\mathbf{N} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales que verifican que $a \neq 0$, $a + b = 0$, $c = a$. Determine si el sistema $\mathbf{N} \mathbf{X} = \mathbf{B}$ es compatible determinado.