Practica por temas

Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.

Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación $$x^5 - 5x + 3 = 0$$

Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.

Calcule la constante de forma que el aire del rectángulo sea $5\,\text{u}^2$.

Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para $a = 3$.

Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas.

Calcular la proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre el plano $\pi$.

Hallar la recta con dirección perpendicular a $r$, que esté contenida en $\pi$, y que corte al eje $OZ$.

Discutir razonadamente el sistema según los valores de $k$.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del sistema cuando $k = -1$.

Resolver razonadamente el sistema cuando $k = 0$.

Sea $\lambda$ un parámetro real cualquiera y considere la matriz y vector siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & -\lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Sean $F_1, F_2$ y $F_3$ la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz $M$ de orden $3 \times 3$ cuyo determinante es $-2$. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: $5F_1 - F_3, 3F_3$ y $F_2$.