Practica por temas

Estudie la posición relativa de los planos: $$\pi : x - 2y + z = 1 \qquad \qquad \pi': \begin{cases} x = 2\lambda + \mu \\ y = \lambda + k\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ según los diferentes valores de la constante real $k$.

Determine el ángulo que forman esos planos cuando $k = 3$.

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano $\pi \equiv x - y + 3z = -3$ con los ejes de coordenadas.

Si llamamos $A$, $B$ y $C$ a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ para que el tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D(-\lambda^2, 2+\lambda, -3)$ tenga volumen mínimo.

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x^2) + x}{\ln(x + 1) + x}$. ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

¿Para qué valor de $d$ tiene la función $\frac{x^d + 1}{x - 2}$ una asíntota oblicua en $+\infty$? Calcule dicha asíntota.