Practica por temas

Dada la función $f(x) = ax + b\sqrt{x}$, determina los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene su máximo en $x = 100$ y que pasa por el punto $(49, 91)$.

Dada la función $$g(x) = \frac{(x - 1) \sqrt{x}}{x^2 - 1}$$ Indica cuál es su dominio. ¿Es $g(x)$ una función continua en su dominio? Justifica la respuesta y, en caso negativo, indica qué tipo de discontinuidad presenta.

Calcula la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$.

Comprueba que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\Pi$.

Comprueba que $\vec{AB}$ es paralelo a $\vec{OC}$ y que $\vec{AO}$ es paralelo a $\vec{BC}$.

Calcula el área del paralelogramo $ABCO$.

pasa por el punto $P(0, 1, 1)$,

está contenida en el plano $\pi \equiv x + y + 3z - 4 = 0$,

es perpendicular a la recta $r \equiv \begin{cases} x = z + 3 \\ y = -z + 4 \end{cases}$.

Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas $$r_1 \equiv x = y = z, \qquad r_2 \equiv \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}, \qquad r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ con el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 7z = 24$.

Hallar la recta $s$ que corta perpendicularmente a las rectas $$r_4 \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z + 1}{-2}, \qquad r_5 \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-1}.$$

Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua y derivable para todo $x \in \mathbb{R}$.

Para dichos valores de $a$ y $b$, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ y sus extremos relativos.