Practica por temas

Halle la única matriz de la forma $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & a \\ b & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ que satisface que $A^2 = A$, y compruebe que $A$ y $A - I$ no son invertibles.

Justifique razonadamente que si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ diferente de la matriz nula, $0$, y de la matriz identidad, $I$, y satisface la igualdad $A^2 = A$, entonces las matrices $A$ y $A - I$ no son invertibles.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1, 0, 0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 0)$.

Dada la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ e^{2-x} + 2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$, calcula $a$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$. Para el valor obtenido de $a$, ¿es $f(x)$ derivable en $x = 2$?

Dada $g(x) = ax^4 + bx + c$, calcula los valores de $a, b, c$ para que $g(x)$ tenga en el punto $(1, -1)$ un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de $g(x)$, en $x = 0$, sea paralela a la recta $y = 4x$.

Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la función $F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt$, ¿tiene $F(x)$ puntos de inflexión? Justifica la respuesta.

Calcular $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1 + x)} \right)$.

Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = \frac{1}{x^2}$ y la recta $x = e$.