Practica por temas

Considere la función $f(x) = x^2 e^{-x}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$.

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación $4x + 3y = 12$.

Se desea construir un campo rectangular con vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ de manera que: Los vértices $A$ y $B$ sean puntos del arco de la parábola $y = 4 - x^2$, $-2 \leq x \leq 2$, y el segmento de extremos $A$ y $B$ es horizontal. Los vértices $C$ y $D$ sean puntos del arco de la parábola $y = x^2 - 16$, $-4 \leq x \leq 4$, y el segmento de extremos $C$ y $D$ es también horizontal. Los puntos $A$ y $C$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo $x$. Los puntos $B$ y $D$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo $-x$. Se pide obtener razonadamente:

Consideremos el rectángulo cuyos vértices son: $(0, 0), (x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (0, f(x_0))$, tal y como indica la figura, donde $0 \leq x_0 \leq 1$ y $f(x) = 18 - 3x - 8x^2$.