Practica por temas

Calcula una primitiva de $f(x)$, que pase por el punto $(-1, 0)$. (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t = 1 - x^2$)

Calcula $\int_{0}^{1} f(x) dx$

Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano.

¿Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la función $f(x) = \tg(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo. Nota: $\tg$ denota la función tangente.

Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.

Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación $$x^5 - 5x + 3 = 0$$

Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.

$|A + B|$ y $|\frac{1}{2}(A + B)^{-1}|$.

$|(A + B)^{-1}A|$ y $|A^{-1}(A + B)|$.

$|2ABA^{-1}|$ y $|A^3B^{-1}|$.

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{5x + 1}{2x - 1} - \frac{3}{2} \right)^{\frac{2x^2 + 1}{x - 1}}$$

Usando el cambio de variable $t = \cos(x)$, calcule: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sen(x) \cos(x)}{1 - \cos(x)} dx$$

Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo). Sabiendo que el perímetro total de la ventana son $5$ metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.