Practica por temas

Determinar un punto $Q$ de la recta $r$, de modo que su proyección $Q'$ sobre $\overline{OP}$ sea el punto medio de este segmento.

Determinar la distancia de $P$ a $r$.

¿Existe algún punto $R$ de la recta $r$, de modo que los puntos $O$, $P$ y $R$ estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad; en caso negativo, justificar la no existencia.

Dado el plano $\pi: \begin{cases} x = 2 - \lambda + \mu \\ y = \lambda \\ z = \lambda + \mu \end{cases}$, calcula la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1, -2, 1)$ y es perpendicular a $\pi$. Calcula el punto de intersección de $r$ y $\pi$.

¿Están alineados los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 0, 1)$ y $C(2, 1, 5)$? Si no están alineados, calcula la distancia entre el plano que determinan estos tres puntos y el plano $\pi$ del apartado a).

Hallar la ecuación en forma general del plano $\pi$ que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.

Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta $s$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, explicando el procedimiento utilizado.

Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, -1)$ al plano $\pi$.

Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1, -1, 2)$ y $C(0, 1, 1)$.

Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que $$\begin{cases} A \cdot B = -B \\ A \cdot C = B - C \end{cases}$$ En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$.

Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1} \cdot D = D$.