Practica por temas

Estudia, según los valores de $\lambda$, el rango de la matriz $A - \lambda I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden tres.

Resuelve el sistema $(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ y halla, si existe, una solución en la que $x = 2$.

Explique razonadamente si es posible que $\det A \neq 0$, $\det B \neq 0$ y $\det(A \cdot B) = 0$. Si es posible, ponga un ejemplo.

Si sabemos que $\det A \neq 0$ y que $A \cdot B = A \cdot C$, explique razonadamente si podemos asegurar que $B = C$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$, calcula los rangos de $AA^t$ y de $A^t A$, siendo $A^t$ la matriz transpuesta de $A$. Para el valor $a = 1$, resuelve la ecuación matricial $AA^t X = B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 3 con $\det(M) = -1$ y que además verifica $M^3 + M + I = 0$ siendo $I$ la matriz unidad de orden 3. Calcula los determinantes de las matrices: $M + I$ y $3M + 3I$.

¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz es invertible?

Para $k=0$, si existe, calcular la matriz inversa de $A$.

Para $k=0$, hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$.

Estudiar para qué valores de $x$, la matriz inversa de $\begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$ coincide con su opuesta.

Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía.” ¿Cuántos libros llevaba cada hermano?